sistempersamaan linear yang sparse yang besar (banyak memuat 0 pada matriks) (Saad dan Schultz, 1986). Tidak selamanya sistem persamaan linear punya penyelesaian tunggal (konsisten), dapat pula punya penyelesaian banyak atau bahkan tidak punya penyelesaian (takkonsisten). Selain sistem persamaan linear takkosisten, dapat terjadi sistem Terkait Kalkulator Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Lalu bagaimana dengan persamaan linear tiga variabel? Penyelesaian dari persamaan linear tiga variabel bisa dicari apabila terdapat 3 persamaan linear sejenis atau di bawahnya. Untuk menggambarkannya dibutuhkan koordinat 3 dimensi (sumbu x, sumbu y, sumbu z). Adapun hasilnya nanti berupa 42 Persamaan Matriks 75 4.3 Sistem Dua Persamaan Linear dengan Dua Variabel 78 4.4 Sistem Tiga Persamaan Linear dengan Tiga Variabel 81 4.5 Penyelesaian Persamaan Linear Simultan dengan Menggunakan Matriks 83 4.5.1 Penyelesaian Persamaan Linear Simultan m Persamaan dan n Varaiabel 83 June12th, 2019 - Jul 22 2013 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear 1 Variabel Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan 05 matematika kls 7 bab 4 pertidaksamaan linier satu variabel dan perbandingan Matematika SMP Kelas VII 85 Gambar 4 2 memuat satu variabel disebut persamaan linear dengan Adacontoh kombinasi linear vektor pada R2, R3, dan matriks 2x2. KimiaMath. Subscribe Tentang Kategori. Kombinasi Linear: Materi dan Contoh Soal. adalah variabel bebas. Solusi dari sistem persamaan di atas dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik$$\begin{aligned}k_1 &= -t+2\\k_2 &= t+1\end{aligned}$$ senam irama tanpa alat bertumpu pada gerakan dasar. 2x + y – z = 1 x + y + z = 6 x – 2y + z = 0 Penyelesaian Pertama, kita buat nama yang spesifik dari ketiga sistem persamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut. 2x + y – z = 1 …………… Pers. 1 x + y + z = 6 …….……… Pers. 2 x – 2y + z = 0 …………… Pers. 3 Kemudian, persamaan 1, 2, dan 3 kita susun dalam bentuk matriks berikut. AX = B Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut. 2 1 −1 x = 1 1 1 1 y 6 1 −2 1 z 0 Untuk menentukan nilai x, y, dan z maka bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut. AX = B X = A-1B Matriks dari A-1 dirumuskan sebagai berikut. A-1 = 1/determinan Aadjoin A A-1 = 1 adj a1 b1 c1 a2 b2 c2 det A a3 b3 c3 Sampai tahap ini, kita harus menentukan nilai dari determinan matriks A dan juga adjoin matriks A. Penjelasannya adalah sebagai berikut. Menentukan determinan matriks A Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut. A = 2 1 −1 2 1 1 1 1 1 1 1 −2 1 1 −2 Dari bentuk matrik di atas, nilai determinan dari matriks A adalah sebagai berikut. det A = [211 + 111 + −11−2] – [11−1 + −212 + 111] det A = [2 + 1 + 2] – [−1 – 4 + 1] det A = 5 – −4 det A = 9 Adjoin matriks A Untuk menentukan adjoin matriks A digunakan rumus berikut. Adj A = matriks kofaktor AT Jadi sebelum dapat menentukan adjoin matriks, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose. Menentukan matriks kofaktor A [kofA] Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. kofA = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K32 K33 Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut. K11 = −11 + 1 M11 M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A. M11 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M11 = 1 1 = [11] – [−21] = 3 −2 1 Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut. K11 = −11 + 1 3 = 3 K12 = −11 + 2 M12 M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A. M12 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M12 = 1 1 = [11] – [11] = 0 1 1 Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut. K12 = −11 + 2 0 = 0 K13 = −11 + 3 M13 M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A. M13 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M13 = 1 1 = [1−2] – [11] = −3 1 −2 Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut. K13 = −11 + 3 −3 = −3 K21 = −12 + 1 M21 M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A. M21 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M21 = 1 −1 = [11] – [−2−1] = −1 −2 1 Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut. K21 = −12 + 1 −1 = 1 K22 = −12 + 2 M22 M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A. M22 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M22 = 2 −1 = [21] – [1−1] = 3 1 1 Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut. K22 = −12 + 2 3 = 3 K23 = −12 + 3 M23 M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A. M23 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M23 = 2 1 = [2−2] – [11] = −5 1 −2 Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut. K23 = −12 + 3 −5 = 5 K31 = −13+ 1 M31 M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A. M31 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M31 = 1 −1 = [11] – [1−1] = 2 1 1 Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut. K31 = −13 + 1 2 = 2 K32 = −13+ 2 M32 M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A. M32 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M32 = 2 −1 = [21] – [1−1] = 3 1 1 Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut. K32 = −13 + 2 3 = −3 K33 = −13+ 3 M33 M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A. M33 = 2 1 −1 1 1 1 1 −2 1 M33 = 2 1 = [21] – [11] = 1 1 1 Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut. K33 = −13 + 3 1 = 1 Sekarang kita kumpulkan semua nilai K yang diperoleh dari perhitungan di atas, yaitu sebagai berikut. K11 = 3 K21 = 1 K31 = 2 K12 = 0 K22 = 3 K32 = −3 K13 = −3 K23 = 5 K33 = 1 Dengan demikian, bentuk dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. kofA = 3 0 −3 1 3 5 2 −3 1 Menentukan matriks Kofaktor A Transpose [kofAT] Bentuk matriks transpose diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris suatu matriks menjadi elemen-elemen kolom dan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Dengan demikian, bentuk matriks transpose dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. [kofA]T = 3 1 2 0 3 −3 −3 5 1 Bentuk transpose dari matriks kofaktor A merupakan matriks adjoin A, sehingga adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut. Adj A = matriks kofaktor AT Adj A = 3 1 2 0 3 −3 −3 5 1 Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan mengubah bentuk matriks AX = B menjadi bentuk invers seperti berikut. AX = B X = A-1B x = 1 adj 2 1 −1 1 y 1 1 1 6 det A z 1 −2 1 0 x = 1 3 1 2 1 y 0 3 −3 6 9 z −3 5 1 0 x = 3/9 1/9 2/9 1 y 0/9 3/9 −3/9 6 z −3/9 5/9 1/9 0 x = 3/9 × 1 + 1/9 × 6 + 2/9 × 0 y 0/9 × 1 + 3/9 × 6 + −3/9 × 0 z −3/9 × 1 + 5/9 × 6 + 1/9 × 0 x = 3/9 + 6/9 + 0 y 0 + 18/9 + 0 z −3/9 + 30/9 + 0 Jadi, kita peroleh nilai x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {1, 2, 3}. Materi Sistem persamaan linear SPL adalah beberapa persamaan linear yaitu suatu persamaan yang memiliki variabel dengan pangkat tertinggi sama dengan 1. Cara menyelesaikan SPL dengan matriks dapat menjadi alternatif penyelesaian sistem persamaan linear yang memiliki banyak varibel. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamana linear antara lain metode subtitusi, eliminasi, dan campuran. Selain itu cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks juga dapat digunakan. Penyelesaian sistem persamaan linear berupa nilai-nilai varibel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem persamaan linear. Matriks sendiri adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom, di mana baris dan kolom matrik menyatakan ukuran matriks. Misalnya suatu matriks diketahui memiliki ukurab 3 x 3, artinya matriks tersebut terdiri atas tiga baris dan tiga kolom. Isi baris dan kolom pada matriks adalah bilangan-bilangan, sehingga pada matriks dengan ukuran 3 x 3 memuat 9 bilangan. Contoh lain, matriks dengan ukuran 2 x 3 artinya matriks memiliki dua baris dan tiga kolom. Berbeda dengan matriks dengan ukuran 3 x 2 yang artinya matriks memiliki tiga baris dan dua kolom. Baca Juga Operasi Hitung pada Matriks Suatu bentuk sistem persamaan linear dapat dibawa ke dalam bentuk matriks. Dari bentuk matriks yang diperoleh kemudian dapat diselesaikan sehingga diperoleh nilai-nilai dari variabel yang memenuhi sistem persamaan linear. Itulah salah satu fungsi dari matriks yaitu untuk menyelesaikan SPL dengan matriks. Bagaimana cara mebentuk sistem persamaan linear ke dalam bentuk matriks? Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear SPL dengan matriks? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah. Table of Contents Cara Menyelesaikan SPL dengan Matriks untuk 2 Variabel Menyelesaikan SPLTV dengan Matriks Cara Menyelesaikan SPL dengan Matriks untuk 2 Variabel Cara yang paling umum dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel SPLDV adalah menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran. Kali ini, idschool akan mengenalkan cara menyelesaiakan sistem persamaan linear SPL dengan cara yang baru, yaitu dengan menggunakan matriks. Meskipun cara ini akan sedikit rumit, namun cara ini akan sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak variabel. Diketahui sistem persamaan linear dengan dua varibel yaitu ax + by = c dan px + qy = r. Bentuk sistem persamaan linear dua varibel tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks seperti berikut. Berdasarkan sifat matriks invertibel, maka variabel x dan y dapat diketahui melalui cara berikut. Selain cara di atas, penyelesaian matriks untuk mendapatkan nilai x dan y juga dapat dilakukan dengan nilai determinan matriks D. Contoh cara menyelesaikan SPL dengan matriks pada sistem persamaan linear dengan dua variabel dapat dilihat seperti pada pembahasan di bawah. SoalTentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear 2x + y = 5 dan x + y = 7! PenyelesaianBentuk matriks yang sesuai dengan sistem persamaan linear 2x + y = 5 dan x + y = 7 adalah sebagai berikut. Dengan menyelesaikan operasi matriks untuk variabel x dan y di ruas kiri dan yang lain di ruas kanan maka selanjutnya dapat diperoleh nilai x dan y. Cara menyelesaikan SPL dengan matriks untuk soal seperti di atas dapat diselesaikan seperti cara berikut. Jadi, solusi dari dua persamaan linear dua variabel 2x + y = 5 dan x + y = 7 adalah x = –2 dan y = 9. Baca Juga Pengertian Matriks dan Sifat-Sifatnya Cara menyelesaikanSPL dengan matriks akan sangat bermanfaat pada sistem persamaan linear dengan variabel yang banyak, misalnya pada sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV. Metode substitusi, eliminasi, atau campuran dirasa tidak tepat untuk menyelesaikan SPLTV. Selanjutnya, simak penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV menggunakan matriks. Diketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan zax + by + cz = dpx + qy + rz = skx + ly + mz = n Bentuk SPLTV di atas dalam bentuk matriks dapat dibuat seperi berikut. Baca Juga Cara Menentukan Invers Matriks Berdasarkan matriks di atas, dapat disusun determinan utama, determinan variabel x, determinan variabel y, dan determinan variabel z. Untuk lebih jelasnya perhatikan masing-masing determinan pada daftar di bawah. Determinan utama Determinan variabel x Determinan variabel y Determinan variabel z Selanjutnya, nilai dari ketiga variabel yaitu x, y, dan z dapat dihitung melalui persamaan di bawah. 4. Penyelesaian SPLTV Metode Determinan Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode determinan adalah sebagai berikut. Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut. Misalkan terdapat sistem persamaan berikut. a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut A . X = B …………… Pers. 1 Dengan A = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut. a1 b1 c1 x = d1 a2 b2 c2 y d2 a3 b3 c3 z d3 Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A D, determinan x Dx determinan y Dy dan determinan z Dz dengan persamaan berikut. D = a1 b1 c1 a1 b1 = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 D adalah determinan dari matriks A. Dx = d1 b1 c1 d1 b1 = d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3 – d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1 d2 b2 c2 d2 b2 d3 b3 c3 d3 b3 Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B. Dy = a1 d1 c1 a1 d1 = a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3 – a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1 a2 d2 c2 a2 d2 a3 d3 c3 a3 d3 Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B. Dz = a1 b1 d1 a1 b1 = a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3 – a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1 a2 b2 d2 a2 b2 a3 b3 d3 a3 b3 Dz adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B. Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut. Contoh Soal Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini. 2x + y + z = 12 x + 2y – z = 3 3x – y + z = 11 Jawab Mengubah SPLTV ke bentuk matriks Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut. 2 1 1 x = 12 1 2 −1 y 3 3 −1 1 z 11 Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas. Menentukan nilai D D = 2 1 1 2 1 1 2 −1 1 2 3 −1 1 3 −1 D = [221 + 1−13 + 11−1] – [321 + −1−12 + 111] D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1] D = 0 − 9 D = −9 Menentukan nilai Dx Dx = 12 1 1 12 1 3 2 −1 3 2 11 −1 1 11 −1 Dx = [1221 + 1−111 + 13−1] – [1121 + −1−112 + 131] Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3] Dx = 10 − 37 Dx = −27 Menentukan nilai Dy Dy = 2 12 1 2 12 1 3 −1 1 3 3 11 1 3 11 Dy = [231 + 12−13 + 1111] – [331 + 11−12 + 1112] Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12] Dy = −19 – –1 Dy = −18 Menentukan nilai Dz Dz = 2 1 12 2 1 1 2 3 1 2 3 −1 11 3 −1 Dz = [2211 + 133 + 121−1] – [3212 + −132 + 1111] Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11] Dz = 41 − 77 Dz = −36 Menentukan nilai x, y, z Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {3, 2, 4}. 5. Penyelesaian SPLTV Metode Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi dan berlaku A . B = B . A = 1, maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A atau ditulis B = A-1. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular. Sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Untuk mencari invers matriks persegi berordo 3×3, coba kalian perhatikan contoh berikut ini. Jika A = a1 b1 c1 Dengan det A ≠ 0 a2 b2 c2 a3 b3 c3 Maka invers dari matriks A ditulis A-1 dirumuskan sebagai berikut. A-1 = 1/determinan Aadjoin A A-1 = 1 adj a1 b1 c1 a2 b2 c2 det A a3 b3 c3 Jika det A = 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers atau disebut matriks singular. Untuk menentukan nilai determinan dan adjoin dari matriks A dapat digunakan cara berikut. Determinan matriks A Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut. A = a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 Kemudian kalikan elemennya secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar dengan diagonal utama. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a1b2c3, b1c2a3, dan c1a2b3. Ketiga hasil perkalian elemen matriks tersebut bertanda positif. Perhatika diagram perkalian matriks berikut ini. + + + A = a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 Setelah itu, kalian searah dengan sejajar diagonal samping. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a3b2c1, b3c2a1, dan c3a2b1. Ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda negatif. Perhatikan diagram perkalian matriks berikut. − − − A = a1 b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 Determinan dari matriks A adalah jumlah semua hasil perkalian bertandanya yakni det A = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 + −a3b2c1 + −b3c2a1 + −c3a2b1 det A = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1 Adjoin matriks A Untuk menentukan nilai adjoin matriks A digunakan rumus berikut. Adj A = matriks kofaktor AT Jadi sebelum dapat menentukan nilai adjoin, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose. Matriks Kofaktor A [kofA] Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut. kofA = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K32 K33 Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut. K11 = −11 + 1 M11 M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A. M11 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M11 = b2 c2 = b2c3 – b3c2 b3 c3 Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut. K11 = −11 + 1 [b2c3 – b3c2] K12 = −11 + 2 M12 M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A. M12 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M12 = a2 c2 = a2c3 – a3c2 a3 c3 Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut. K12 = −11 + 2 [a2c3 – a3c2] K13 = −11 + 3 M13 M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A. M13 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M13 = a2 b2 = a2b3 – a3b2 a3 b3 Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut. K13 = −11 + 3 [a2b3 – a3b2] K21 = −12 + 1 M21 M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A. M21 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M21 = b1 c1 = b1c3 – b3c1 b3 c3 Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut. K21 = −12 + 1 [b1c3 – b3c1] K22 = −12 + 2 M22 M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A. M22 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M22 = a1 c1 = a1c3 – a3c1 a3 c3 Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut. K22 = −12 + 2 [a1c3 – a3c1] K23 = −12 + 3 M23 M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A. M23 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M23 = a1 b1 = a1b3 – a3b1 a3 b3 Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut. K23 = −12 + 3 [a1b3 – a3b1] K31 = −13+ 1 M31 M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A. M31 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M31 = b1 c1 = b1c2 – b2c1 b2 c2 Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut. K31 = −13 + 1 [b1c2 – b2c1] K32 = −13+ 2 M32 M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A. M32 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M32 = a1 c1 = a1c2 – a2c1 a2 c2 Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut. K32 = −13 + 2 [a1c2 – a2c1] K33 = −13+ 3 M33 M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A. M33 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 M33 = a1 b1 = a1b2 – a2b1 a2 b2 Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut. K33 = −13 + 3 [a1b2 – a2b1] Matriks Kofaktor A Transpose [kofAT] Transpose dari matriks kofaktor A diperoleh dengan cara mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Perhatikan cara berikut. kofA = K11 K12 K13 K21 K22 K23 K31 K32 K33 [kofA]T = K11 K21 K31 K12 K22 K32 K13 K23 K33 Dengan demikian, nilai adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut Adj A = matriks kofaktor AT Adj A = K11 K21 K31 K12 K22 K32 K13 K23 K33 1 Sistem Persamaan Linier dua Variabel Salah satu diantara penggunaan invers matriks adalah untuk menyelesaikan sistim persamaan linier. Tentu saja teknik penyelesaiannya dengan aturan persamaan matriks, yaitu Selain dengan persamaan matriks, teknik menyelesaikan sistem persamaan linier juga dapat dilakukan dengan determinan matriks. Aturan dengan cara ini adalah Untuk lebih jelaxnya, ikutilah contoh soal berikut ini 02. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x – 3y = 8 dan x + 2y = –3 dengan metoda a Invers matriks b Determinan Jawab a Dengan metoda invers matriks diperoleh b Dengan metoda determinan matriks diperoleh 2 Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel. Sepeti halnya pada sistem persamaan linier dua variabel, menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan matriks juga terdiri dari dua cara, yakni dengan menggunakan determinan matriks dan dengan menggunakan aturan invers perkalian matriks. Berikut ini akan diuraikan masing masing cara tersebut. Aturan menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan determinan matriks adalah dengan menentukan terlebih dahulu matriks koefisien dari sistem persamaan itu. Selanjutnya ditentukan empat nilai determinan sebagai berikut 1 D yakni determinan matriks koefisien 2 Dx yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien x diganti konstanta 3 Dy yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien y diganti konstanta 4 Dz yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien z diganti konstanta Rumus masing-masingnya adalah sebagai berikut Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini 01. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dibawah ini dengan menggunakan metoda determinan 2x – 3y + 2z = –3 x + 2y + z = 2 2x – y + 3z = 1 Jawab D = 223 + –312 + 21–1 – 222 – 21–1 – –313 D = 12 – 6 – 2 – 8 + 2 + 9 D = 7 Dx = –323 + –311 + 22–1 – 221 – –31–1 – –323 Dx = –18 – 3 – 4 – 4 – 3 + 18 Dx = –14 Dy = 223 + –312 + 211 – 222 – 211 – –313 Dy = 12 – 6 + 2 – 8 – 2 + 9 Dy = 7 Dz = 221 + –322 + –31–1 – –322 – 22–1 – –311 Dz = 4 – 12 + 3 + 12 + 4 + 3 Dz = 14 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan MATLAB Seperti pada tutorial sebelumnya mengenai menampilkan dan menyelesaikan persamaan matematika di MATLAB. Pada tutorial ini digunakan konsep matriks array division untuk menyelesaikan persamaan linear dengan MATLAB. Sistem Persamaan Linear Multivariabel digunakan berbagai ilmu dan aplikasinya mudah untuk diterapkan. Seperti namanya sistem persamaan linear multivariabel mempunyai lebih dari satu variabel. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV dan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel merupakan contoh dari sistem persamaan linear multivariabel. A. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut Hitunglah nilai x,y,z ? Sebelum anda menyelesaikan persamaan linear dengan MATLAB anda perlu mengubah bentuk persamaan itu dalam bentuk matriks. Ini menggunakan konsep aljabar linear, sebagai berikut Dengan menggunakan konsep array division pada MATLAB diperoleh solusi matriks X dengan entri x,y,z sebagai berikut Menggunakan left division » A = [3 2 1; 2 7 2; 8 2 -7] A = 3 2 1 2 7 2 8 2 -7 » B = [12; 28; 4] B = 12 28 4 » X=A\B X = menggunakan right division » A = [3 2 8; 2 7 2; 1 2 -7] A = 3 2 8 2 7 2 1 2 -7 » B = [12 28 4] B = 12 28 4 » X =B/A X = Jadi, nilai x = 1,3245 ; y = 3,0993 dan z = 1,8278 B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Empat Variabel Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut Hitunglah nilai a,b,c,d ? Anda dapat menyelesaikan soal di atas dengan mudah sama dengan cara sistem persamaan linear tiga variabel di atas. Membentuk matriks sistem persamaan Syntax yang diperlukan untuk menghitung soal di atas dengan solusi penyelesaian X adalah sebagai berikut » A = [1 2 3 1; 3 5 7 4; 4 1 1 3; 6 7 5 2] A = 1 2 3 1 3 5 7 4 4 1 1 3 6 7 5 2 » B = [9; 12; 23; 0] B = 9 12 23 0 » X = A\B X = Jadi, nilai a = 11,8824 ; b = -17,5294 ; c = 12,9412 dan d = -6,6471 Anda dapat menyelesaikan persamaan linear dengan MATLAB untuk jumlah variabel yang lebih banyak, dengan membuat bentuk matriks persegi dari sistem persamaan lalu menggunakan Array Division untuk menghitung solusinya. Baca juga tutorial lainnya Daftar Isi Tutorial MATLAB Sekian artikel "Sistem Persamaan Linear Multivariabel di MATLAB". Nantikan artikel menarik lainnya dan jangan lupa share artikel ini ke kerabat anda. Terima kasih…

penyelesaian persamaan linear 3 variabel dengan matriks